‘역학’ 이라 하면 주로 dynamics를 말하는 경우가 많습니다. 하지만 이번에는 dynamics가 아닌 역학, 즉 역(疫)학에 대해 다루고자 합니다. 역학은 Epidemiology라고 하며, 전염병이 사람들 사이에서 퍼져나가는 것에 대한 학문입니다. 역학에는 전염병이 퍼지는 현상에 대한 여러가지 모델이 있는데, 그 중 가장 기초적인 SIR 모델에 대해 알아보겠습니다.
결핵(tuberculosis)같이 많은 인구가 걸리는 질병을 다룰 때는 결정론적인 수학적 모델을 사용합니다. 이런 모델에서는 전체 인구를 병에 걸릴 수 있는 사람, 감염된 사람, 회복된 사람 등 몇 그룹으로 나누고, 그 그룹에 개개인을 배치합니다. 감염된 사람이 회복되는 경우처럼 한 그룹에서 다른 그룹으로 사람이 이동할 수 있는데, 이런 이동은 미분방정식으로 표현됩니다.
이런 식으로 표현된 기초적인 역학 모델로 SIR 모델을 들 수 있습니다. SIR 모델에서는 전체 인구수가 변하지 않는다고 가정한 모델로, 전체 인구를 병에 걸릴 수 있는 사람(S), 감염된 사람(I), 회복된 사람(R)으로 나눕니다.
먼저 S(t)는 시간 t에서 아직 감염되지 않은 사람의 수로, 감염될 가능성이 있는 사람을 나타냅니다. I(t)는 시간 t에서 질병에 감염된 사람의 수, 즉 S그룹의 사람들에게 질병을 퍼뜨릴 수 있는 사람을 나타냅니다. R(t)는 질병에서 회복된 사람들을 나타냅니다. 이 사람들은 질병에 대한 면역이 생겨서 다시 감염되지 않고, 다른 사람에게 질병을 옮기지도 않습니다.
사람들은 아래 그림처럼 SIR 모델에서 S >> I >> R 순서로 그룹을 옮겨갑니다.
이 SIR 모델을 식으로 나타내 봅시다.
이 모델에는 몇 가지 가정이 있습니다. 먼저, 질병의 감염속도와 회복속도가 출생, 죽음으로 인한 인구 수 변화보다 빨라서 출생, 죽음으로 인한 인구 수의 변화를 무시합니다.
또, 첫번째 식에서 먼저 사람 개개인이 질병에 접촉하고, 감염될 확률이 β로 같다는 것입니다. 그래서 감염자 한 명당 감염되지 않은 사람이 감염될 확률은 βS 이고, 전체 감염자 수로 따지면 단위시간당 생기는 새로운 감염자의 수는 βSI 가 되는 것입니다. 새로운 감염자의 수는 그대로 S 그룹에서 I 그룹으로 이동합니다. I 그룹에서는 회복된 사람들이 R그룹으로 건너가는데, 이 속도를 결정하는 계수가 회복률(γ)혹은 평균 감염 시간(1/γ)입니다.
마지막으로, 이 과정들은 질량작용의 법칙(Law of Mass Action)을 따릅니다. 질량작용의 법칙은 각 그룹 사이에서 그룹의 구성원이 이동할 때의 속도가 그룹의 크기에 비례한다는 것입니다.
SIR 모델에 따르면 전염성 질병은 보통 위와 같은 그래프로 나타낼 수 있습니다. 시간에 따라 각 그룹에 속한 사람 수가 어떻게 변하는지를 나타낸 것입니다. 처음에 Susceptible에 속하는 사람이 감염되면서 Infected의 수가 늘어나고, 이 후 새로운 감염자는 줄어드는데 (S그룹이 적어져서) 질병에서 회복되는 사람이 늘어나면서(I그룹이 많아져서) Recovered의 수가 늘어나는 것입니다.
SIR 모델은 역학 모델의 가장 기본이 되는 모델로, 다른 역학 모델들은 이 모델에 다른 요소를 추가하면서 만들어집니다. ==★
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